Между порядком и хаосом. Часть 1

Джеймс П. Кратчфилд, Дж. Дойн Фармер, Норман Х. Паккард, Роберт С. Шоу3 ноября 2008

между порядком и хаосомВ хаосе есть порядок: в основе случайности лежит некая геометрическая структура. Хаос налагает принципиальные ограничения на возможность прогнозирования, но в то же время предполагает причинные связи там, где раньше их никто не подозревал. Хаос, о котором речь пойдет в статье, не связан ни с большим числом компонент, ни с их невидимыми воздействиями. Наличие случайного поведения в очень простых системах заставляет по-новому взглянуть и на такие большие системы, как атмосфера.

Огромная сила науки заключена в ее способности устанавливать связь между причиной и следствием. Например, законы гравитации позволяют предсказывать затмения на тысячи лет вперед. Другие явления природы не поддаются столь точному предсказанию. Течения в атмосфере так же строго подчиняются физическим законам, как и движения планет, тем не менее прогнозы погоды все еще имеют вероятностный характер. И погода, и течение горной реки, и движение брошенной игральной кости имеют в своем поведении непредсказуемые аспекты. Так как в этих явлениях не видно четкой связи между причиной и следствием, говорят, что в них присутствует элемент случайности. Однако до недавнего времени было мало оснований сомневаться в том, что в принципе можно достичь точной предсказуемости. Считалось, что для этого необходимо только собрать и обработать достаточное количество информации.

Такую точку зрения круто изменило поразительное открытие: простые детерминированные системы с малым числом компонент могут порождать случайное поведение, причем эта случайность имеет принципиальный характер — от нее нельзя избавиться, собирая больше информации. Порождаемую таким способом случайность стали называть хаосом.

Кажущийся парадокс состоит в том, что хаос детерминирован — порожден определенными правилами, которые сами по себе не включают никаких элементов случайности. В принципе будущее полностью определено прошлым, однако на практике малые неопределенности растут и поэтому поведение, допускающее краткосрочный прогноз, на долгий срок непредсказуемо. Таким образом, в хаосе есть порядок: в основе хаотического поведения лежат изящные геометрические структуры, которые создают случайность таким же спосо бом, как создает ее сдающий карты, тасуя колоду, или миксер, размешивая тесто для бисквита.

Открытие хаоса породило новый образец научного моделирования. С одной стороны, оно ввело новые принципиальные ограничения на возможность предсказаний. С другой стороны, заложенный в хаосе детерминизм показал, что многие случайные явления более предсказуемы, чем считалось раньше. Собранная в прошлом информация, казавшаяся случайной и отправленная на полку как слишком сложная, теперь получила объяснение при помощи простых законов. Хаос позволяет находить порядок в столь различных системах, как атмосфера, подтекающий водопроводный кран или сердце. Это революционное открытие затронуло многие области науки.

Каковы источники случайного поведения? Классическим примером служит броуновское движение. Рассматриваемая в микроскоп пылинка совершает свой безостановочный и беспорядочный танец под дей ствием теплового движения окружающих ее молекул воды. Поскольку молекулы воды невидимы, а число их огромно, точное движение пылинки совершенно непредсказуемо. Таким образом, паутина причинных воздействий одних частей системы на другие может стать настолько запутанной, что окончательная картина поведения будет совсем случайной.

Хаос, о котором речь пойдет в статье, не связан ни с большим числом компонент, ни с их невидимыми воздействиями. Наличие случайного поведения в очень простых системах заставляет по-новому взглянуть и на такие большие системы, как атмосфера.

Почему предвидеть течения в атмосфере намного труднее, чем движения в Солнечной системе? И та и другая составлены из многих частей, и обе подчиняются второму закону Ньютона F=ma, который можно рассматривать как простое предписание для предсказания будущего. Если действующие на массу m силы F известны, то известно и ускорение а. Тогда получается, что, как только положение и скорость какого-то объекта измерены в некоторый заданный момент, они однозначно определены навсегда. Идея оказалась настолько сильнодействующей, что французский математик XVІІI в. Пьер Симон Лаплас однажды заявил, что, если бы для каждой частицы во Вселенной были заданы положение и скорость, он мог бы предсказать будущее на все остальное время. И хотя на пути к достижению этой поставленной Лапласом цели есть очевидные практические трудности, более ста лет как будбудто не было никаких причин сомневаться в том, что по крайней мере в принципе Лаплас прав. Буквальное распространение этого заявления Лапласа на социальные явления привело к философскому выводу о полной предопределенности поведения людей: свободной воли не существует.

Лаплас,1776 г.:

“Состояние системы природы в настоящем есть, очевидно, следствие того, каким оно было в предыдущий момент, и если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами Вселенной, то он сможет установить соответствующие положения, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем.


Физическая астрономия, область знания, которая делает величайшую честь человеческому уму, дает нам представление, хотя и неполное, чем был бы такой разум. Простота законов, по которым движутся небесные тела, и соотношения между их массами и расстояниями позволяют проанализировать их движение до определенной точки, и, чтобы определить состояние системы этих крупных тел в прошлых или будущих веках, математику достаточно того, чтобы их положение и скорость были получены из наблюдений в любой момент времени. Человек обязан этим мощности приборов, которыми он пользуется, и небольшому числу соотношений, которые он применяет в своих расчетах. Однако незнание различных причин, вызывающих те или иные события, а также их сложность в сочетании с несовершенством анализа мешает нам достичь той же уверенности по отношению к огромному большинству явлений. Таким образом, существуют вещи, которые для нас неопределенны, вещи, более или менее вероятные, и мы стараемся компенсировать невозможность их узнать, определяя различные степени их достоверности. Получается, что слабости человеческого разума мы обязаны появлением одной из самых тонких и искусных математических’ теорий — науки о случае, или о вероятности”.

Пуанкаре,1903 г.:

“Совсем незначительная причина, ускользнувшая от нашего внимания, вызывает значительный эффект, который мы не можем не заметить, и тогда мы говорим, что этот эффект вызван случаем. Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая.


Взгляды двух великих ученых на случайность и вероятность совершенно противоположны. Французский математик Пьер Симон Лаплас полагал, что законы природы подразумевают строгий детерминизм и полную предсказуемость, хотя несовершенство наблюдений и требует введения теории вероятностей. Высказывание Пуанкаре предвосхищает современный взгляд, согласно которому сколь угодно малые неопределенности в состоянии системы могут усиливаться со временем и предсказания отдаленного будущего могут стать невозможными.”

Наука XX в. покончила с лапласовым детерминизмом. Первый удар ему нанесла квантовая механика. Одно из главных положений этой теории — открытый Гейзенбергом принцип неопределенности, который утверждает, что одновременно положение и скорость частицы не могут быть точно измерены. Принцип неопределенности хорошо объясняет, почему некоторые случайные явления, такие, как радиоактивный распад, не подчиняются лапласову детерминизму. Ядро настолько мало, что вступает в силу принцип неопределенности, и точно знать происходящие в ядре процессы принципиально невозможно, а потому, сколько бы ни было собрано о нем информации, нельзя точно предсказать, когда оно распадется.

Однако источник непредсказуемости для крупномасштабных систем следует искать в другом. Одни крупномасштабные явления предсказуемы, другие — нет, и квантовая механика тут ни при чем. Например, траектория бейсбольного мяча в принципе предсказуема, и каждый игрок интуитивно пользуется этим всякий раз, когда ловит мяч. Напротив, траектория воздушного шара, когда из него вырывается воздух, непредсказуема: он кренится и беспорядочно вертится в какие-то моменты и в каких-то местах, которые нельзя предвидеть. Но ведь этот воздушный шар подчиняется тем же законам Ньютона, что и бейсбольный мяч; почему же прогнозировать его поведение труднее?

Классический пример подобного двоякого поведения дает течение жидкости. При одних обстоятельствах оно является ламинарным — ровным, устойчивым, регулярным — и легко предсказывается при помощи уравнений. При других обстоятельствах течение становится турбулентным — неровным, неустойчивым, нерегулярным — и трудно предсказуемым. Переход от ламинарного поведения к турбулентному знаком каждому, кто хоть раз летел в самолете в спокойную погоду и затем внезапно попадал в грозу. Чем объяснить существенную разницу между ламинарным и турбулентным течением?

Чтобы лучше понять, в чем тут загадка, допустим, что мы решили посидеть у горного ручья. Вода кружится в водоворотах и плещется так, будто по собственной воле бросается то туда, то сюда. Но ведь камни в русле ручья прочно лежат на месте, а приток воды почти одинаков. Чем же вызван случайный характер ее движения?

Советский физик Л. Д. Ландау в свое время предложил объяснение случайного движения жидкости, которое господствовало много лет. Оно состояло в том, что в турбулентном течении возникает много различных независимых колебаний (вихрей). При увеличении скорости течение станет еше более турбулентным и постепенно, по одной, будут прибавляться новые частоты. Хотя каждое отдельное колебание может быть простым, их сложное сочетание приводит к движению, которое невозможно предсказать.

Однако по поводу теории Ландау возникли сомнения. Случайное поведение проявляют даже системы, не отличающиеся ни особой сложностью, ни неопределенностью. Еще на рубеже века это осознал французский математик Анри Пуанкаре, отметив, что непредсказуемые, возникающие “по воле случая” явления присущи скорее таким системам, где небольшие изменения в настоящем приводят к заметным изменениям в будущем. Представим себе камень на вершине холма. Чуть-чуть подтолкнув его в ту или иную сторону, мы заставим его катиться вниз по совсем разным путям. Но, если камень чувствителен к малым воздействиям только пока он находится на вершине холма, хаотические системы чувствительны к ним в каждой точке своего движения.

Чтобы показать, насколько чутко реагируют некоторые физические системы на внешние воздействия, приведем простой пример. Представим себе несколько идеализированный бильярд, в котором шары катятся по столу и сталкиваются между собой так, что потерями энергии можно пренебречь. Игрок делает один удар, и начинается длинная серия столкновений; естественно, он хочет знать, что последует за его ударом. На какой срок может игрок, в совершенстве контролирующий свой удар, предсказать траекторию шара, который он толкнул своим кием? Если он пренебрежет даже столь малым воздействием, как гравитационное притяжение электрона на краю галактики, прогноз окажется неверным уже через одну минуту!

Фазовое пространство дает удобное средство для наглядного представления поведения динамической системы. Это абстрактное пространство, координатами в котором являются степени свободы системы. Например, движение маятника (вверху) полностью определено его начальной скоростью и положением. Таким образом, его состоянию отвечает точка на плоскости, координатами которой являются положение и скорость маятника (внизу). Когда маятник качается, эта точка описывает некоторую траекторию, или “орбиту”, в фазовом пространстве. Для идеального маятника без трения орбита представляет собой замкнутую кривую (внизу слева), в противном случае орбита сходится по спирали к точке (внизу справа).

Фазовое пространство дает удобное средство для наглядного представления поведения динамической системы. Это абстрактное пространство, координатами в котором являются степени свободы системы. Например, движение маятника (вверху) полностью определено его начальной скоростью и положением. Таким образом, его состоянию отвечает точка на плоскости, координатами которой являются положение и скорость маятника (внизу). Когда маятник качается, эта точка описывает некоторую траекторию, или “орбиту”, в фазовом пространстве. Для идеального маятника без трения орбита представляет собой замкнутую кривую (внизу слева), в противном случае орбита сходится по спирали к точке (внизу справа).

Быстрый рост неопределенности объясняется тем, что шары не идеальны, и небольшие отклонения от идеальной траектории в точке удара с каждым новым столкновением увеличиваются. Рост происходит экспоненциально подобно тому, как размножаются бактерии в условиях неограниченного пространства и запаса пищи. С каждым новым столкновением ошибки накапливаются, и любое даже самое малое воздействие быстро достигает макроскопических размеров. Это одно из основных свойств хаоса*.

Экспоненциальное накопление ошибок, свойственное хаотической динамике, стало вторым камнем преткновения для лапласова детерминизма. Квантовая механика установила, что начальные измерения всегда неопределенны, а хаос гарантирует, что эти неопределенности быстро превысят пределы предсказуемости. Не будь хаоса, Лаплас мог бы тешиться надеждой, что ошибки останутся ограниченными или хотя бы будут расти достаточно медленно, позволяя делать долгосрочный прогноз. При наличии хаоса достоверность прогнозов быстро падает.

Понятие хаоса относится к так называемой теории динамических систем. Динамическая система состоит из двух частей: понятия состояния (существенной информации о системе) и динамики (правила, описывающего эволюцию системы во времени). Эволюцию можно наблюдать в пространстве состояний, или фазовом пространстве, — абстрактном пространстве, в котором координатами служат компоненты состояния. При этом координаты выбираются в зависимости от контекста. В случае механической системы это могут быть положение и скорость, в случае экологической модели — популяции различных биологических видов.

Хороший пример динамической системы — простой маятник. Его движение задается всего двумя переменными: положением и скоростью. Таким образом, его состояние — это точка на плоскости, координаты которой — положение маятника и его скорость. Эволюция состояния описывается правилом, которое выводится из законов Ньютона и выражается математически в виде дифференциального уравнения. Когда маятник качается взад-вперед, его состояние — точка на плоскости — движется по некоторой траектории (“орбите”). В идеальном случае маятника без трения орбита представляет собой петлю; при наличии трения орбита закручивается по спирали к некоторой точке, соответствующей остановке маятника.

Статья была впервые опубликована на сайте xaoc.ru 13 сентября 2005 г.

Источник: Кратчфилд Дж., Фармер Дж., Паккард Н., Шоу Р. Хаос. //В мире науки -1987,№2. — С.16 — 28.