Между порядком и хаосом. Часть 2

Джеймс П. Кратчфилд, Дж. Дойн Фармер, Норман Х. Паккард, Роберт С. Шоу3 ноября 2008

Динамическая система может развиваться либо в непрерывном времени, либо в дискретном времени. Первая называется потоком, вторая — отображением (иногда каскадом). Маятник непрерывно движется от одного положения к другому и, следовательно, описывается динамической системой с непрерывным временем, т. е. потоком. Число насекомых, рождающихся каждый год в определенном ареале, или промежуток времени между каплями из подтекающего водопроводного крана более естественно описывать системой с дискретным временем, т. е. отображением.

Чтобы узнать, как развивается система из заданного начального состояния, нужно совершить бесконечно малое продвижение по орбите, а для этого можно воспользоваться динамикой (уравнениями движения). При таком методе объем вычислительной работы пропорционален времени, в течение которого мы хотим двигаться по орбите. Для простых систем типа маятника без трения может оказаться, что уравнения движения допускают решение в замкнутой форме, т. е. существует формула, выражающая любое будущее состояние через начальное состояние. Такое решение дает “путь напрямик”, т. е. более простой алгоритм, в котором для предсказания будущего используется только начальное состояние и окончательное время и который не требует прохода через все промежуточные состояния. В таком случае объем работы, затрачиваемой на прослеживание движения системы, почти не зависит от конечного значения времени. Так, если заданы уравнения движения планет и Луны, а также положения и скорости Земли и Луны, то можно, например, на много лет вперед предсказать затмения.

Благодаря успешному нахождению решений в замкнутой форме для многих разнообразных простых систем на ранних стадиях развития физики появилась надежда, что для всякой механической системы существует такое решение. Теперь известно, что это, вообще говоря, не так. Непредсказуемое поведение хаотических динамических систем нельзя описать решением в замкнутой форме. Значит, при установлении их поведения у нас нет никакого “пути напрямик”.

Аттракторы — это геометрические структуры, характеризующие поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Грубо говоря, аттрактор — это то, к чему система стремится прийти, к чему она притягивается. Здесь аттракторы показаны синим цветом, а начальные состояния — красным. Траектории, выйдя из начальных состояний, в конце концов приближаются к аттракторам. Самый простой тип аттрактора — неподвижная точка (вверху слева). Такой аттрактор соответствует поведению маятника при наличии трения; маятник всегда приходит в одно и то же положение покоя независимо от того, как он начал колебаться (см. правую половину рисунка на предыдущей странице). Следующий, более сложный аттрактор — предельный цикл (вверху в центре), который имеет форму замкнутой петли в фазовом пространстве. Предельный цикл описывает устойчивые колебания, такие, как движение маятника в часах или биение сердца. Сложному колебанию, или квазипериодическому движению, соответствует аттрактор в форме тора (вверху справа). Все три аттрактора предсказуемы: их поведение можно прогнозировать с любой точностью. Хаотические аттракторы соответствуют непредсказуемому движению и имеют более сложную геометрическую форму. Три примера хаотических аттракторов изображены в нижнем ряду; они получены (слева направо) Э. Лоренцем, О. Рёсслером и одним из авторов (Шоу) соответственно путем решения простых систем дифференциальных уравнений с трехмерным фазовым пространством.

Аттракторы — это геометрические структуры, характеризующие поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Грубо говоря, аттрактор — это то, к чему система стремится прийти, к чему она притягивается. Здесь аттракторы показаны синим цветом, а начальные состояния — красным. Траектории, выйдя из начальных состояний, в конце концов приближаются к аттракторам. Самый простой тип аттрактора — неподвижная точка (вверху слева). Такой аттрактор соответствует поведению маятника при наличии трения; маятник всегда приходит в одно и то же положение покоя независимо от того, как он начал колебаться (см. правую половину рисунка на предыдущей странице). Следующий, более сложный аттрактор — предельный цикл (вверху в центре), который имеет форму замкнутой петли в фазовом пространстве. Предельный цикл описывает устойчивые колебания, такие, как движение маятника в часах или биение сердца. Сложному колебанию, или квазипериодическому движению, соответствует аттрактор в форме тора (вверху справа). Все три аттрактора предсказуемы: их поведение можно прогнозировать с любой точностью. Хаотические аттракторы соответствуют непредсказуемому движению и имеют более сложную геометрическую форму. Три примера хаотических аттракторов изображены в нижнем ряду; они получены (слева направо) Э. Лоренцем, О. Рёсслером и одним из авторов (Шоу) соответственно путем решения простых систем дифференциальных уравнений с трехмерным фазовым пространством.


И все-таки фазовое пространство дает мощное средство для изучения хаотических систем, так как оно позволяет представить их поведение в геометрической форме. Так, в нашем примере маятника с трением, который в конце концов останавливается, его траектория в фазовом пространстве приходит в некоторую точку. Это неподвижная точка; так как она притягивает близлежащие орбиты, ее называют притягивающей неподвижной точкой, или аттрактором (от англ. to attract — притягивать. — Перев.). Если сообщить маятнику небольшой толчок, его орбита вернется в неподвижную точку. Всякой системе, которая с течением времени приходит в состояние покоя, отвечает неподвижная точка в фазовом пространстве. Это явление имеет весьма общий характер: потери энергии из-за трения или, например, вязкости приводят к тому, что орбиты притягиваются к небольшому множеству фазового пространства, имеющему меньшую размерность. Всякое такое множество называется аттрактором. Грубо говоря, аттрактор отвечает установившемуся поведению системы — тому, к которому она стремится.

Некоторые системы не останавливаются по прошествии длительного времени, а циклически проходят некоторую последовательность состояний. Пример — часы с маятником, которые заводятся при помощи пружины или гирь. Маятник снова и снова повторяет свой путь. В фазовом пространстве его движению соответствует периодическая траектория, или цикл. Неважно, как маятник запущен в движение — в конце концов он придет к тому же циклу. Такие аттракторы называются предельными циклами. Другой знакомой всем системой с предельным циклом является сердце.

Одна и та же система может иметь несколько аттракторов. Если это так, то разные начальные условия могут привести к разным аттракторам. Множество точек, приводящих к некоторому аттрактору, называется его областью притяжения. Система с маятником имеет две такие области: при небольшом смешении маятника от точки покоя он возвращается в эту точку, однако при большом отклонении часы начинают тикать, и маятник совершает стабильные колебания.

Хаотический аттрактор имеет гораздо более сложное строение, чем предсказуемые аттракторы — точка, предельный цикл или тор. В крупном масштабе хаотический аттрактор есть неровная поверхность со складками. Показаны этапы образования хаотического аттрактора на примере аттрактора Рёсслера (внизу). Сначала близкие траектории на объекте расходятся экспоненциально (вверху); расстояние между соседними траекториями увеличивается примерно вдвое. Чтобы остаться в конечной области, объект складывается (в центре): поверхность сгибается и ее края соединяются. Аттрактор Рёсслера наблюдался во многих системах, от потоков жидкости до химических реакций; этот факт иллюстрирует максиму Эйнштейна о том, что природа предпочитает простые структуры.

Хаотический аттрактор имеет гораздо более сложное строение, чем предсказуемые аттракторы — точка, предельный цикл или тор. В крупном масштабе хаотический аттрактор есть неровная поверхность со складками. Показаны этапы образования хаотического аттрактора на примере аттрактора Рёсслера (внизу). Сначала близкие траектории на объекте расходятся экспоненциально (вверху); расстояние между соседними траекториями увеличивается примерно вдвое. Чтобы остаться в конечной области, объект складывается (в центре): поверхность сгибается и ее края соединяются. Аттрактор Рёсслера наблюдался во многих системах, от потоков жидкости до химических реакций; этот факт иллюстрирует максиму Эйнштейна о том, что природа предпочитает простые структуры.


Более сложный аттрактор имеет форму тора (напоминающую поверхность бублика). Такая форма отвечает движению, составленному из двух независимых колебаний, — так называемому квазипериодическому движению. (Физические примеры можно построить при помощи электрических осцилляторов.) Траектория навивается на тор в фазовом пространстве, одна частота определяется временем оборота по малому кругу тора, другая — по большому кругу. Для комбинации более чем двух вращений аттракторами могут быть многомерные торы.

Важное отличительное свойство квазипериодического движения состоит в том, что, несмотря на сложный характер, оно предсказуемо. Хотя траектория может никогда не повторяться точно (если частоты несоизмеримы), движение остается регулярным. Траектории, начинающиеся поблизости одна от другой на торе, так и остаются поблизости одна от другой, и долгосрочный прогноз гарантирован.

Статья была впервые опубликована на сайте xaoc.ru 13 сентября 2005 г.

Источник: Кратчфилд Дж., Фармер Дж., Паккард Н., Шоу Р. Хаос. //В мире науки -1987,№2. — С.16 — 28.